Was ist sinus hyperbolicus?

Der Sinus hyperbolicus, oft mit sinh(x) bezeichnet, ist eine <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/hyperbelfunktion">Hyperbelfunktion</a>. Er ist definiert als:

sinh(x) = (e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup>) / 2

**Eigenschaften:**

*   **Definitionsbereich:** Alle reellen Zahlen (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/reelle%20zahlen">ℝ</a>).
*   **Wertebereich:** Alle reellen Zahlen (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/reelle%20zahlen">ℝ</a>).
*   **Ungerade Funktion:** sinh(-x) = -sinh(x).  Dies bedeutet, dass der Graph symmetrisch zum Ursprung ist.
*   **Ableitung:** Die Ableitung von sinh(x) ist cosh(x) (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/cosinus%20hyperbolicus">Cosinus Hyperbolicus</a>).
*   **Stammfunktion:** Eine Stammfunktion von sinh(x) ist cosh(x).

**Beziehung zu anderen Hyperbelfunktionen:**

Der Sinus hyperbolicus steht in enger Beziehung zu anderen <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/hyperbelfunktion">Hyperbelfunktionen</a> wie dem Cosinus hyperbolicus (cosh(x)), dem Tangens hyperbolicus (tanh(x)) und deren Kehrwerten.  Insbesondere gilt die Identität: cosh<sup>2</sup>(x) - sinh<sup>2</sup>(x) = 1

**Anwendungen:**

Der Sinus hyperbolicus findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften. Beispielsweise:

*   **Kettenlinie:**  Die Form einer idealen Kette oder eines Seils, das nur durch die Schwerkraft gehalten wird, wird durch den <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/cosinus%20hyperbolicus">Cosinus Hyperbolicus</a> beschrieben, aber die Berechnung bestimmter Parameter kann den Sinus Hyperbolicus erfordern.
*   **Integrale:**  Die Hyperbelfunktionen vereinfachen viele Integrale.
*   **Differentialgleichungen:**  Sie treten als Lösungen in bestimmten Differentialgleichungen auf.