Der Sinus hyperbolicus, oft mit sinh(x) bezeichnet, ist eine <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/hyperbelfunktion">Hyperbelfunktion</a>. Er ist definiert als:
sinh(x) = (e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup>) / 2
**Eigenschaften:**
* **Definitionsbereich:** Alle reellen Zahlen (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/reelle%20zahlen">ℝ</a>).
* **Wertebereich:** Alle reellen Zahlen (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/reelle%20zahlen">ℝ</a>).
* **Ungerade Funktion:** sinh(-x) = -sinh(x). Dies bedeutet, dass der Graph symmetrisch zum Ursprung ist.
* **Ableitung:** Die Ableitung von sinh(x) ist cosh(x) (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/cosinus%20hyperbolicus">Cosinus Hyperbolicus</a>).
* **Stammfunktion:** Eine Stammfunktion von sinh(x) ist cosh(x).
**Beziehung zu anderen Hyperbelfunktionen:**
Der Sinus hyperbolicus steht in enger Beziehung zu anderen <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/hyperbelfunktion">Hyperbelfunktionen</a> wie dem Cosinus hyperbolicus (cosh(x)), dem Tangens hyperbolicus (tanh(x)) und deren Kehrwerten. Insbesondere gilt die Identität: cosh<sup>2</sup>(x) - sinh<sup>2</sup>(x) = 1
**Anwendungen:**
Der Sinus hyperbolicus findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften. Beispielsweise:
* **Kettenlinie:** Die Form einer idealen Kette oder eines Seils, das nur durch die Schwerkraft gehalten wird, wird durch den <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/cosinus%20hyperbolicus">Cosinus Hyperbolicus</a> beschrieben, aber die Berechnung bestimmter Parameter kann den Sinus Hyperbolicus erfordern.
* **Integrale:** Die Hyperbelfunktionen vereinfachen viele Integrale.
* **Differentialgleichungen:** Sie treten als Lösungen in bestimmten Differentialgleichungen auf.
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